Фазовые портреты и задачи управления

Проект 2016 - 2018

Типичная задача вычислительной математики и математического моделирования заключается в построении и обосновании методов, позволяющих по заданным начальным условиям предсказывать динамику нестационарных физических процессов. На основе соответствующих алгоритмов можно не только исследовать поведение интересующей физической системы для различных начальных данных, но и разрабатывать подходы, позволяющие за счет внешнего воздействия управлять процессом эволюции. Однако подобные управления обычно удается найти только для траекторий, проходящих около интересующей. Дело в том, что нелокальная стабилизация, имеющая принципиальное значение для приложений, может быть реализована лишь с учетом структуры глобального фазового портрета, построение которого в общем случае является отдельной нетривиальной проблемой.

Цель исследования:
В рамках проекта планируется изучение необходимого математического аппарата, достаточного для построения глобальных фазовых портретов базовых нестационарных задач математической физики, рассмотрение методов построения управляющих функций для локальной и нелокальной стабилизации траекторий систем гиперболического (седлового) типа, а также проработка вопросов, связанных с локализацией управляющих элементов.
Результаты проекта
Основной результат. Задача математического (т.е. качественного) описания фазовых портретов градиентных систем была решена в семидесятых годах прошлого столетия. В том числе доказано, что все траектории соответствующих уравнений стремятся к одному из стационарных состояний, двигаясь вдоль т.н. «усов Адамара», их соединяющих. Первым нетривиальным вопросом, рассмотренным в проекте, является задача о численном построении фазового портрета одномерной задачи Чафе-Инфанта (нестационарного нелинейного уравнения в частных производных), что требует приближенного вычисления всех неподвижных точек и аппроксимации соответствующих «усов». Так как почти все неподвижные точки данной системы являются сильно отталкивающими, то при численных расчетах стандартные алгоритмы для почти всех начальных условий сходятся к притягивающим стационарам.

Для поиска неустойчивых неподвижных начальных состояний был предложен и реализован метод установления в подпространстве. Алгоритм позволил найти все стационары, количественно описать картину глобальной динамики для уравнения Чафе-Инфанта и существенно уточнить структуру неподвижных точек в случае полиномиальной нелинейности для задачи Аллана-Кана. Данный метод имеет прикладную ценность, т.к. может обоснованно применяться для вычисления неподвижных точек широкого класса градиентных систем, а также является прозрачным модельным примером для апробации алгоритмов нелокальной стабилизации.

На рис.1,2 соответственно представлен численно построенный фазовый портрет уравнения Чафе-Инфанта для случая пяти неподвижных точек и аппроксимация одного «усов Адамара».

Второй вопрос, исследованный в проекте и связанный с алгоритмами локальной стабилизации, заключается в изучении свойств операторов проектирования вдоль подпространства функций с финитным носителем, размер которого стремится к нулю. Детальные расчеты в длинной арифметике показали, что уменьшение области управления для произвольного одномерного уравнения типа Чафе-Инфанта хотя и портит оператор проектирования (хорошо известно, что его норма экспоненциально растет), но не влияет на асимптотическую скорость стабилизации – коэффициент при старшей гармонике остается ограниченным при стремлении размера области к нулю.

Данный результат является новым. С его помощью, в том числе, удается объяснить, почему наличие малоразмерных управляющих элементов способно качественно менять общую картину динамики, и почему увеличение области управления не гарантирует повышение эффективности управляющего элемента.

На рис.3,4 соответственно представлены графики зависимостей коэффициентов при старших гармониках в наихудшем случае от размера области, и картина выхода на стационар уравнения Чафе-Инфанта с нулевой нелинейностью при управлении по двум подобластям.

Руководители проекта
Участники проекта
  • Сальников Данила Егорович
    Математический профиль
  • Благинин Дмитрий Андреевич
    Инженерный профиль
  • Букреева Ирина Олеговна
    Математический профиль
  • Мельник Павел Александрович
    Математический профиль