Фазовые портреты и задачи управления
Типичная задача вычислительной математики и математического моделирования заключается в построении и обосновании методов, позволяющих по заданным начальным условиям предсказывать динамику нестационарных физических процессов. На основе соответствующих алгоритмов можно не только исследовать поведение интересующей физической системы для различных начальных данных, но и разрабатывать подходы, позволяющие за счет внешнего воздействия управлять процессом эволюции. Однако подобные управления обычно удается найти только для траекторий, проходящих около интересующей. Дело в том, что нелокальная стабилизация, имеющая принципиальное значение для приложений, может быть реализована лишь с учетом структуры глобального фазового портрета, построение которого в общем случае является отдельной нетривиальной проблемой.
Для поиска неустойчивых неподвижных начальных состояний был предложен и реализован метод установления в подпространстве. Алгоритм позволил найти все стационары, количественно описать картину глобальной динамики для уравнения Чафе-Инфанта и существенно уточнить структуру неподвижных точек в случае полиномиальной нелинейности для задачи Аллана-Кана. Данный метод имеет прикладную ценность, т.к. может обоснованно применяться для вычисления неподвижных точек широкого класса градиентных систем, а также является прозрачным модельным примером для апробации алгоритмов нелокальной стабилизации.
На рис.1,2 соответственно представлен численно построенный фазовый портрет уравнения Чафе-Инфанта для случая пяти неподвижных точек и аппроксимация одного «усов Адамара».
Данный результат является новым. С его помощью, в том числе, удается объяснить, почему наличие малоразмерных управляющих элементов способно качественно менять общую картину динамики, и почему увеличение области управления не гарантирует повышение эффективности управляющего элемента.
На рис.3,4 соответственно представлены графики зависимостей коэффициентов при старших гармониках в наихудшем случае от размера области, и картина выхода на стационар уравнения Чафе-Инфанта с нулевой нелинейностью при управлении по двум подобластям.